有限维复内积空间上的正规算子可以被酉对角化。它把“寻找合适坐标”提升为结构定理：算子的作用完全由互相正交的特征空间与对应特征值描述。
A = U diag(λ₁,…,λₙ) U*
无限维情形中，对角矩阵被投影值测度取代，自伴算子表示为 A=∫λ dE(λ)。谱不必由特征值组成，连续谱也成为几何的一部分。
ADVANCED MATHEMATICS · VOLUME I
形状、算子与
不变量
高等数学并非公式的堆积，而是用不变量穿过不同表示。本卷从线性算子的谱，走向微分形式的上同调，再抵达复结构的几何。
阅读全文 ↓01 / FUNCTIONAL ANALYSIS
谱定理
02 / DIFFERENTIAL GEOMETRY
德拉姆上同调
dω=0。它局部看似一个势函数的微分，却可能携带整体拓扑信息。
ω=dη。由 d²=0 可知恰当必闭；反向成立与否取决于空间中的“洞”。
HᵏdR(M)=ker d / im d。积分把抽象商空间与同调循环配对。
德拉姆定理说明微分形式计算出的上同调与奇异上同调同构。分析语言与拓扑语言因此描述同一个不变量：圆周上的闭 1-形式可以沿环积分得到非零值，故不可能在全局上恰当。
03 / COMPLEX GEOMETRY
黎曼曲面
黎曼曲面在每个小邻域内都像复平面，坐标变换保持全纯。多值函数借此成为曲面上的单值函数；平方根的两张平面沿分支切口粘合，形成一个完整几何对象。
右侧展示映射 z ↦ z²+c 对正交网格的作用。复可微性迫使微小尺度上的变换同时保持角度与方向。